CHAPTER V · 第五章 · 原第五章 · 原

原子物理 — Atomic & Quantum原子物理 — Atomic & Quantum

本以为连续的世界，实际上是粒子的积木。連続だと思っていた世界は、実は粒の積み木でできていた。

这一章我们学原子。不过别被名字骗了 — 真正要学的是经典物理在 1900 年前后突然崩掉这件事，以及物理学家是怎么把它重新拼回去的。

この章で学ぶのは原子。とはいえ名前に騙されてはいけない — 本当に学ぶのは1900 年前後、古典物理が突然崩れ去ったこと、そして物理学者たちがそれをどう組み直したかだ。

背景 · two clouds, 1900背景 · two clouds, 1900

19 世纪末，牛顿 + 麦克斯韦 + 热力学已经把宇宙解释得几乎完美。 剩下「天边的两朵乌云」 — Kelvin 1900 年的原话 — 一朵是黑体辐射，一朵是以太。

结果这两朵云，一朵变成了**量子力学，一朵变成了相对论**。整个现代物理就是从这两朵云里展开的。

19 世紀末、ニュートン + マクスウェル + 熱力学は宇宙をほぼ完璧に説明し終えていた。 残ったのは「空に浮かぶ二つの雲」 — 1900 年のケルビン本人の言葉 — 一つは黒体放射、もう一つはエーテル。

結果としてこの二つの雲は、一方が**量子力学に、もう一方が相対論**に化けた。現代物理はすべてこの二つの雲から伸びていった枝だ。

本章按历史脉络走： 黑体 → 光电 → Compton → 物质波 → Bohr → 不确定性 → 波函数 → 核。这条线的共同主角是普朗克常数 $h$ — 一个比分子还小得多、但改变了整个物理学的常数。

この章は歴史の流れに沿って進む： 黒体 → 光電 → コンプトン → 物質波 → ボーア → 不確定性 → 波動関数 → 核。主役は終始プランク定数 $h$ — 分子よりはるかに小さいくせに、物理学全体を書き換えた定数だ。

EJU 考点 · exam tipEJU 出題 · exam tip

原子物理在 EJU 理科里通常一道小题或一道中题。高频考点：光电效应公式、Bohr 能级 & 光谱、 de Broglie 波长、半衰期 & $α / β / γ$ 衰变、 $E = m c^{2}$ 质量亏损。计算量不大，但概念容易混 — 这章重在把脉络理顺。

原子物理は EJU 理科でたいてい小問一つ、または中問一つ。頻出：光電効果の式、ボーアの準位と光スペクトル、ド・ブロイ波長、半減期と $α / β / γ$ 崩壊、 $E = m c^{2}$ の質量欠損。計算量は小さいが概念が混ざりやすい — この章は流れを通すことが肝心。

§01

blackbody radiation

黑体辐射 — 普朗克把能量切成了一份一份黒体放射 — プランクがエネルギーを「ひと粒ずつ」に切った

把一块铁放进炉子里加热。 $300^{\circ} C$ 时它摸上去烫但还是黑色； $600^{\circ} C$ 它开始发出暗红光； $1000^{\circ} C$ 变成橙红；到 $1500^{\circ} C$ 像锻铁炉里那样金白；继续加热还会偏蓝白。一个关键事实：不管那块东西是铁、是炭、是陶瓷，到同一温度发出的光颜色几乎一样。发光颜色只跟温度有关，跟材质无关。

为了把这件事讲干净，物理学家定义了一个理想模型 — 黑体 (blackbody)：一个把所有外来辐射全部吸收（一点也不反射，所以冷的时候是纯黑）、再只按自己温度把能量重新发出去的物体。最接近黑体的实物是一个壁面涂黑的封闭炉子上开一个小孔 — 从孔射出的光就是炉壁温度的「纯净辐射」。

把这个炉子里出来的光用棱镜散开，画一张「波长 ↔ 强度」的曲线，就是黑体辐射谱。实验观察到三件事：① 谱线是一条单峰曲线；② 温度升高，整条曲线变高（越热越亮）； ③ 峰值波长 $λ_{m a x}$ 朝短波方向移动（越热越蓝）— 这就是 Wien 位移律。这三条全都和你刚才烧铁看到的颜色变化对得上。

问题来了：这条曲线的形状，能不能用经典物理推出来？ 19 世纪末 Rayleigh 和 Jeans 用经典电磁学 + 等分定理一推 — 得到一条完全不像实验的曲线：波长越短，理论强度越大，到紫外波段时趋于无穷。按这条公式，任何一个温暖的炉子（甚至你自己的身体）都应该在紫外、X 射线方向放出无限多能量，一秒内把宇宙烤焦。

这就是著名的紫外灾难 (ultraviolet catastrophe) — 实验明明给出一条漂亮的单峰曲线，理论却给出一条爆炸到无穷的曲线。经典物理在这一刻撞墙。

鉄の塊を炉に入れて加熱してみる。 $300^{\circ} C$ ではまだ黒く、ただ熱いだけ。 $600^{\circ} C$ で暗い赤光を放ち始め、 $1000^{\circ} C$ でオレンジ赤、 $1500^{\circ} C$ で鍛冶場のような金白、さらに加熱すると青白へ寄っていく。肝心な事実：その物体が鉄でも、炭でも、陶器でも、同じ温度なら出てくる光の色はほぼ同じだということ。発光色は温度のみで決まり、材質には依らない。

この現象を綺麗に語るために、物理学者は一つの理想モデルを定義した — 黒体 (blackbody)：外から入ってきた放射をすべて吸収し（反射ゼロ、だから冷たいと真っ黒）、自身の温度だけで決まる放射を放つ物体。最も黒体に近い実物は、内壁を黒く塗った密閉炉に小さな穴を開けたもの — 穴から漏れ出す光こそ、炉壁の温度がそのまま化けた「純粋な放射」だ。

この穴から出る光をプリズムで分け、「波長 ↔ 強度」曲線を描く。これが黒体放射スペクトル。実験で分かるのは三つ：① スペクトルは単峰の曲線、② 温度を上げると曲線全体が持ち上がる（熱いほど明るい）、 ③ ピーク波長 $λ_{m a x}$ は短波長側へ動く（熱いほど青い）— ヴィーンの変位則だ。三つとも、さっき鉄を熱したときに見た色の変化と一致する。

問題はここから：この曲線の形を、古典物理から導けるか？ 19 世紀末、レイリーとジーンズが古典電磁気学 + エネルギー等分配則で計算してみると — 実験とはまったく似ても似つかぬ曲線が出てきた：波長が短いほど理論強度が強くなり、紫外領域では無限大に発散する。この公式に従えば、温かい炉（あなた自身の身体ですら）が紫外・X 線方向に無限のエネルギーを放ち、一秒で宇宙を焼き尽くしてしまう。

これが有名な紫外発散 (ultraviolet catastrophe) — 実験は綺麗な単峰、理論は無限大に吹き飛ぶ曲線。古典物理がここで真正面から壁にぶつかった。

Planck 1900 年「走投无路的一步」： 为了把曲线掰回到实验形状，Planck 反推： 能量也许不能连续地被吸收或放出，只能一份一份来。一份能量的大小正比于频率： $E = h ν$ 。也就是说一个振子要么有 0 份、要么 1 份、要么 2 份 $h ν$ — 没有「0.7 份」这种东西。

为什么这一招就能压住紫外发散？高频（短波）那一份 $h ν$ 非常大，按热涨落的概率几乎没人能凑齐这一份的能量去激发它，所以高频段被「冻结」，曲线在短波端自然往下掉。紫外灾难就这样被堵住了。

这一步当时只是为了凑公式而设的数学技巧 — Planck 自己在之后十几年里都不愿相信能量真的是「一份一份」的。但这条假设和实验曲线对得分毫不差，量子力学的大门就这样被打开。这就是他口中的「绝望」 — 为了救曲线，他不得不抛弃了「能量连续」这条经典物理的根基。

プランク 1900 年「絶望的な一手」： 曲線を実験の形に戻すため、プランクは逆向きに仮定する： エネルギーは連続的に吸収・放出されるのではなく、ある一定量ずつしかやり取りされないと。その「ひと粒」の大きさは振動数に比例する： $E = h ν$ 。つまり振動子は $h ν$ を 0 個、1 個、2 個…のいずれかしか持てない — 「0.7 個」という状態は許されない。

なぜこれだけで紫外発散が抑え込まれるのか？高い振動数（短波長）では一粒 $h ν$ が大きい。熱ゆらぎでこの大きさのエネルギーを偶然集める確率はきわめて小さく、高振動数領域は「凍結」される。だから曲線は短波長側で自然に下がる。紫外発散はこうして塞がれた。

この一手は当時、ただ数式を合わせるための数学的トリックにすぎなかった — プランク自身、その後十数年にわたり「エネルギーは本当に飛び飛びだ」と信じることを拒み続けた。しかし、この仮定は実験曲線と寸分違わず一致してしまい、量子力学への扉が開いた。これがプランクの言う「絶望」 — 曲線を救うために、古典物理の根本「エネルギーは連続」を捨てざるを得なかった。

教科書公式 · Planck教科書公式 · プランク

E = h ν = \frac{h c}{λ}

— 一份光子能量；

ν

频率，

λ

波长光子一個分のエネルギー；

ν

は振動数、

λ

は波長

h \approx 6.626 \times 1 0^{- 34} J\cdots

— Planck 常数 — 本章的主角プランク定数 — この章の主役

ℏ = \frac{h}{2 π} \approx 1.055 \times 1 0^{- 34} J\cdots

— 「约化 Planck 常数」；角频率时用它「換算プランク定数」；角振動数を使うときはこちら

λ_{m a x} T = b \approx 2.898 \times 1 0^{- 3} m\cdotK

— Wien 位移律：温度 ↑ → 波长 ↓（越热越蓝）ヴィーンの変位則：温度 ↑ → 波長 ↓（熱いほど青い）

EJU 不考积分谱形，但会用 $λ_{m a x} \cdot T = const$ 估算恒星温度，或让你把 $E$ 、 $ν$ 、 $λ$ 之间换算一下。EJU は積分形のスペクトルは出さないが、 $λ_{m a x} \cdot T = const$ で恒星温度を見積もる、あるいは $E$ 、 $ν$ 、 $λ$ の間の換算を求めることはある。

1900Max Planck· Berlin, Germany

“
我只是被迫做了一件事：把能量分成小份。这是一个走投无路的假设，不是一个物理学的发现。

私はただ、追い詰められて一つのことをした：エネルギーを小さな粒に分けたのだ。これは絶望的な仮定であって、物理的発見ではない。
”

Planck 42 岁时为了救黑体曲线，在一篇短论文里塞进了 h。他花了十几年时间想证明 h 只是技术技巧、实际上能量仍然连续。1918 年他因此拿了诺贝尔奖 — 但真正把 h 当作物理实在的，反而是五年后的那个 26 岁的瑞士专利员。

プランクは 42 歳、黒体曲線を救うために短い論文に h を忍ばせた。彼は十数年かけて「h は単なる技術的便宜であって、エネルギーは依然として連続だ」と論証しようとした。1918 年、彼はこの業績でノーベル賞を受けた — しかし h を「物理的実在」として真に受けたのは、五年後に登場した 26 歳のスイスの特許審査官の方だった。

§02

photoelectric effect

光电效应 — 光不仅是波，还是一颗一颗的粒子光電効果 — 光は波であると同時に「ひと粒ずつ」の粒子でもある

用紫外光照金属板，会打出电子（photo-electrons）。实验事实有四条，都跟经典电磁学的预测对着干：

存在一个截止频率 $ν_{0}$ 。低于它，光强再大也打不出电子。
超过 $ν_{0}$ 后，光强只影响电子数量，不影响电子动能。
电子的最大动能 $K_{m a x}$ 与光强无关，只跟频率线性相关。
电子几乎是瞬间发射（ $≲ 1 0^{- 9}$ 秒），不需要积累能量。

经典波动说把光当作连续电磁波：光越亮，能量越多，电子应该都能打出来 — 实验全盘否定。

紫外線を金属板に当てると電子が飛び出す（photo-electrons）。実験事実は四つ、いずれも古典電磁気学の予言と真っ向から対立する：

ある限界振動数 $ν_{0}$ が存在する。それを下回ればどれほど光を強くしても電子は出てこない。
$ν_{0}$ を超えてからは、光の強さは電子の数だけに影響し、運動エネルギーには影響しない。
電子の最大運動エネルギー $K_{m a x}$ は光強度とは無関係で、振動数と線形に対応する。
電子はほぼ瞬時に放出される（ $≲ 1 0^{- 9}$ 秒）。エネルギーを蓄える時間は要らない。

古典的な波動説は光を連続な電磁波と見なす：強い光＝多いエネルギー＝どの周波数でも電子が出るはず — 実験はこれを完全に否定した。

教科書公式 · 光电效应教科書公式 · 光電効果

K_{m a x} = h ν - W

— Einstein 方程；

W

是金属的功函数（逸出功）アインシュタインの式；

W

は金属の仕事関数（脱出仕事）

ν_{0} = W / h

— 截止频率：光子能量恰好等于功函数限界振動数：光子のエネルギーがちょうど仕事関数に等しい点

e U_{s} = K_{m a x}

— 遏止电压

U_{s}

：把最快的电子刚好挡回来（电子电量

e

）阻止電圧

U_{s}

：最速の電子をぎりぎり押し戻す（電子電荷

e

）

p_{γ} = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}

— 光子动量（后面 Compton 散射要用）光子の運動量（後のコンプトン散乱で使う）

EJU 最爱：给你 $W$ （或 $ν_{0}$ ）和入射 $ν$ ，求 $K_{m a x}$ 或 $U_{s}$ 。直接套 $K = h ν - W$ 。EJU 頻出： $W$ （または $ν_{0}$ ）と入射 $ν$ を与え、 $K_{m a x}$ や $U_{s}$ を求めさせる。 $K = h ν - W$ に直接代入するだけ。

光电效应把「光是什么」这个问题搞复杂了。干涉、衍射说波；光电、Compton 散射说粒子。

两边都对 — 光同时带着波和粒子两套属性。波粒二象先出现在光上，后面会在电子身上再演一次。

光電効果は「光とは何か」という問いを一気に厄介にした。干渉と回折は「波だ」と言い、光電効果とコンプトン散乱は「粒子だ」と言う。

両方とも正しい — 光は同時に波と粒子の二つの性質を背負っている。波と粒の二重性は、まず光に現れ、後で電子の上でもう一度演じられることになる。

1905Albert Einstein· Bern, Switzerland

“
光在发射和吸收时表现得像一群独立的能量粒子，每颗的能量是 hν。

光は放出と吸収のとき、独立したエネルギー粒子の群れのように振る舞う — 一粒のエネルギーは hν だ。
”

Einstein 1905 年的四篇论文（奇迹年）里，光电效应这篇他自己标注为「革命性的」— 这是他唯一这样标的一篇。1921 年诺贝尔奖颁给的就是这篇论文，不是相对论。Millikan 花了十年试图证伪它，最后实测斜率 = h 到三位有效数字，只好认账。

アインシュタインの 1905 年「奇跡の年」に書かれた四本の論文のうち、光電効果の論文だけを彼自身は「革命的」と注釈した — 自身がそう注を付けた唯一の論文だ。1921 年のノーベル賞はこの論文に対するものであって、相対論ではない。ミリカンは十年かけてこれを反証しようとしたが、最終的に勾配が h に三桁の精度で一致してしまい、認めざるを得なかった。

§03

compton scattering

康普顿散射 — 光子也能像台球一样碰撞コンプトン散乱 — 光子もビリヤードのように衝突する

如果光子是「颗粒」，它应该能像台球一样撞电子。

1923 年 Compton 用 X 射线做了这个实验：入射波长 $λ$ ，散射角 $θ$ 方向出来的波长变长了 $λ^{'}$ ，差值只跟 $θ$ 有关，跟入射波长无关。

把光子当成动量 $p = h / λ$ 的粒子，跟静止电子做弹性碰撞，用能量守恒 + 动量守恒（相对论式，因为电子会被撞到高速）解下来就是：

もし光子が「粒」なら、ビリヤード玉のように電子と衝突できるはずだ。

1923 年、コンプトンは X 線で実験を行った：入射波長 $λ$ 、散乱角 $θ$ の方向に出てくる X 線の波長は伸びていた（ $λ^{'}$ ）。その差は $θ$ だけで決まり、入射波長には依らない。

光子を運動量 $p = h / λ$ の粒子と見なし、静止電子と弾性衝突させる。エネルギー保存 + 運動量保存（電子は高速になるから相対論的な式）を解くと：

教科書公式 · Compton教科書公式 · コンプトン

Δ λ = λ^{'} - λ = \frac{h}{m _{e} c} (1 - cos θ)

— 波长移动只取决于散射角

θ

波長変化は散乱角

θ

のみで決まる

λ_{C} = \frac{h}{m _{e} c} \approx 2.43 \times 1 0^{- 12} m

— 电子的「Compton 波长」— 2.4 皮米電子の「コンプトン波長」 — 2.4 ピコメートル

θ = 0^{\circ} \Rightarrow Δ λ = 0; θ = 18 0^{\circ} \Rightarrow Δ λ = 2 λ_{C}

— 反向散射时位移最大後方散乱（

18 0^{\circ}

）で波長変化が最大

Compton 是光子粒子说的「压轴证据」 — 光电说光子有能量，Compton 说光子还有动量。コンプトン散乱は「光子は粒子だ」という主張の決定的証拠 — 光電効果が光子のエネルギーを示し、コンプトンが光子に運動量があることまで示した。

§04

matter waves

物质波 — 所有物体都是波物質波 — あらゆるものに波がある

光既是波又是粒子。那反过来 — 以前被当成颗粒的电子，会不会也有波的一面？ 1924 年，de Broglie 在博士论文里把这个猜想写成一条公式：

光は波でもあり粒子でもある。では逆向き — これまで粒子と思われていた電子にも波の側面があるのではないか？ 1924 年、ド・ブロイは博士論文でこの推測を一つの式にした：

教科書公式 · de Broglie教科書公式 · ド・ブロイ

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

— 任意带动量的东西都对应一个波长運動量を持つものはすべて、対応する波長を一つ持つ

K = \frac{p ^{2}}{2 m} \Rightarrow λ = \frac{h}{2 m K}

— 给出动能

K

就能算

λ

運動エネルギー

K

が分かれば

λ

を計算できる

e U = K \Rightarrow λ = \frac{h}{2 m _{e} e U}

— 加速电压

U

下的电子波长加速電圧

U

で得られる電子の波長

例题： $50 eV$ 的电子 $λ \approx 0.17 nm$ — 跟晶格间距同量级，能做衍射。例： $50 eV$ の電子は $λ \approx 0.17 nm$ — 結晶格子の間隔と同程度、回折を起こせる。

三年后 Davisson & Germer（美国贝尔实验室）偶然做出了电子衍射：低速电子打镍单晶，探测器上出现了跟 X 光衍射一模一样的圆环。电子确实有波长，而且精确等于 $h / p$ 。

这意味着：任何物体都有一个 de Broglie 波长。只是宏观物体的 $λ$ 小得可怕 — 一个 $60 kg$ 以 $1 m/s$ 走路的人， $λ \sim 1 0^{- 35} m$ ，远小于普朗克长度量级。

所以「你是一团波」这件事永远测不出来。但电子、中子、冷原子 — 波性清清楚楚。

三年後、デイヴィソンとガーマー（米ベル研）が偶然電子回折を成功させた：低速電子をニッケル単結晶に当てると、検出器に X 線回折とそっくり同じ環状パターンが現れる。電子は確かに波長を持ち、しかもその値は厳密に $h / p$ に一致した。

ということは：あらゆる物体にド・ブロイ波長が付随する。ただ巨視的な物体の $λ$ は恐ろしく小さい — 体重 $60 kg$ の人が $1 m/s$ で歩いても、 $λ \sim 1 0^{- 35} m$ 、プランク長さよりずっと小さい。

だから「あなた自身が一つの波だ」という事実は永遠に測れない。しかし電子・中性子・冷却原子では、波としての性質ははっきりと見える。

1924Louis de Broglie· Paris, France

“
如果光这种波可以表现得像粒子，那么电子这种粒子也应该表现得像波 — 只是一种对称的想法。

光という波が粒子のように振る舞えるなら、電子という粒子もまた波のように振る舞うはずだ — それは対称性から来る素直な発想にすぎない。
”

de Broglie 家是法国公爵世家，他本来读历史；一战当通讯兵时接触无线电，才转物理。博士论文只有 77 页，评审都不知该不该通过 — 论文寄给 Einstein 看过后，Einstein 一句「这小伙子揭开了厚厚的面纱」才让他毕业。1929 年拿诺贝尔奖。

ド・ブロイは元々フランス公爵家の出で、当初は歴史学を専攻していた。第一次大戦中に通信兵として無線電信に触れ、物理学へ転向。博士論文はわずか 77 ページで、審査員たちは合否を決めかねていた — 論文をアインシュタインに送ったところ、彼の一言「この若者は厚いベールを剥ぎ取った」によって博士号が認められた。1929 年ノーベル賞。

§05

Bohr model

Bohr 氢原子 — 轨道、量子数、光谱线ボーアの水素原子 — 軌道・量子数・スペクトル線

1911 年 Rutherford 用 $α$ 粒子散射实验证明原子「中间一个小核，外面电子绕」。

但这个模型有个致命问题：按经典电磁学，绕核转的电子会不断辐射能量，应该在 $1 0^{- 11}$ 秒内坠进原子核。可原子显然稳定存在。

1913 年 Bohr 仿照 Planck 的「量子化」手法，硬塞了两条公理：

定态假设：电子只能在特定圆轨道上运动，这些轨道上的电子不辐射。
跃迁假设：电子从能级 $E_{n}$ 跳到 $E_{m}$ 时，发射或吸收一颗光子，满足 $h ν = E_{n} - E_{m}$ 。

量子化条件是：轨道角动量只能取 $ℏ$ 的整数倍 — $m_{e} v r = n ℏ$ （ $n = 1, 2, 3 \dots$ ）。用这一条 + 库仑向心力 + 能量守恒，直接推出氢原子所有能级：

1911 年、ラザフォードは $α$ 粒子散乱実験により原子の構造を確定した：「中央に小さな核、その周りに電子」。

しかしこのモデルには致命的な問題があった：古典電磁気学に従えば、核の周りを回る電子は絶えずエネルギーを放射し、 $1 0^{- 11}$ 秒以内に核へ墜落するはずだ。にもかかわらず原子は明らかに安定して存在している。

1913 年、ボーアはプランクの「量子化」の手口を真似て、二つの公理を強引に挿入した：

定常状態の仮説：電子は特定の円軌道のみを運動でき、これらの軌道上では放射しない。
遷移の仮説：電子が準位 $E_{n}$ から $E_{m}$ へ跳ぶとき、光子を一個放出または吸収する： $h ν = E_{n} - E_{m}$ 。

量子化条件は：軌道角運動量が $ℏ$ の整数倍しか取れない — $m_{e} v r = n ℏ$ （ $n = 1, 2, 3 \dots$ ）。これとクーロン引力（向心力）+ エネルギー保存だけで、水素原子の全準位が一気に導ける：

教科書公式 · Bohr 氢原子教科書公式 · ボーアの水素原子

r_{n} = n^{2} a_{0}, a_{0} \approx 0.529 \overset{˚}{A}

— Bohr 半径

a_{0}

— 基态轨道半径ボーア半径

a_{0}

— 基底状態の軌道半径

E_{n} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}

—

n = 1

基态，

E = - 13.6 eV

；

n \to \infty

时

E \to 0

（电离）

n = 1

基底状態で

E = - 13.6 eV

、

n \to \infty

で

E \to 0

（電離）

h ν_{n \to m} = E_{n} - E_{m} = 13.6 eV (\frac{1}{m ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})

— 跃迁光子能量遷移時に放出 / 吸収される光子のエネルギー

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{m ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}), R \approx 1.097 \times 1 0^{7} m^{- 1}

— Rydberg 公式 — 氢光谱的经验规律リュードベリの公式 — 水素スペクトルの経験則

经典题：给你跃迁 $(n, m)$ ，问发射光的波长属于哪个谱系（Lyman 紫外 / Balmer 可见 / Paschen 红外）。定番問題： $(n, m)$ を与え、放出光の波長が属する系列を答えさせる（ライマン系列：紫外 / バルマー系列：可視 / パッシェン系列：赤外）。

Bohr 模型为什么奏效但不正确？它能精确复现氢光谱，但对氦及以后的多电子原子完全失败。更根本的问题是，它仍然把电子当「在轨道上跑的小球」。

真正的图像要等到 de Broglie → Schrödinger — 电子在核周围形成三维驻波，根本没有「圆轨道」这回事： $2 π r_{n} = nλ$ ，圆周恰好容下整数个波长。 「轨道」是驻波的干涉结果。

ボーアモデルはなぜうまくいくが正しくないのか？水素のスペクトルは精密に再現するが、ヘリウム以降の多電子原子では完全に破綻する。より根本的には、彼のモデルは依然として電子を「軌道上を走る小球」として扱っているのだ。

本当の姿はド・ブロイ → シュレーディンガーまで待たねばならない — 電子は核の周りで三次元の定常波を作り、「円軌道」など最初から存在しない： $2 π r_{n} = nλ$ は単に「円周にちょうど整数本の波長が収まる」という条件にすぎない。 「軌道」は定常波の干渉結果である。

1913Niels Bohr· Copenhagen, Denmark

“
我只是猜了两条规则，然后氢光谱的每一条线都自己跳出来了 — 当时我自己都吓了一跳。

二つのルールを当てずっぽうに置いてみたら、水素スペクトルの線が一本残らず勝手に出てきた — 自分自身が驚いた。
”

Bohr 28 岁。他把 Planck 的 h 和 Rutherford 的核拼到一起，胶水只是直觉。模型本身在 1925 年被量子力学取代（电子在核周围是一团概率云，没有可定义的圆轨道），但 Bohr 半径、Bohr 能级这些结果作为「对氢的首阶近似」一直沿用到今天。

ボーア 28 歳。プランクの h とラザフォードの核を一緒に置き、接着剤は直感だけだった。モデル自体は 1925 年に量子力学に置き換えられ（電子は核周りの確率雲であって、定義可能な円軌道は存在しない）、それでもボーア半径やボーア準位は「水素についての一次近似」として今日まで使い続けられている。

§06

uncertainty principle

不确定性原理 — 本质不是「测不准」不確定性原理 — 測れないのではなく、決まっていない

波粒二象的直接后果：你不能同时把*「它在哪」和「它多快」*都量到任意精度。 1927 年 Heisenberg 把这一点写成了不等式：

波と粒の二重性が直接もたらす帰結 — *「どこにいるか」と「どれくらい速いか」*を同時に任意の精度で測ることはできない。 1927 年、ハイゼンベルクはこれを一つの不等式にまとめた：

教科書公式 · Heisenberg教科書公式 · ハイゼンベルク

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

— 位置 × 动量位置 × 運動量

Δ t \cdot Δ E \geq \frac{ℏ}{2}

— 时间 × 能量（用于估算粒子寿命对谱宽的影响）時間 × エネルギー（粒子寿命がスペクトル幅に与える影響を見積もるのに使う）

ℏ/2 \approx 5.27 \times 1 0^{- 35} J\cdots

— 不等式右侧的常数 — 极小，宏观世界根本看不见不等式右辺の値 — 極小、巨視的世界では完全に見えない

EJU 不会直接考不等式数值，但会用它解释「为什么电子不能坠到核里」、「为什么原子有个最小尺寸」。EJU は不等式の数値を直接問わないが、「なぜ電子は核へ墜落しないのか」「なぜ原子には最小サイズがあるのか」の説明に用いられる。

这跟仪器精度无关。在量子力学里，「位置」和「动量」两个量本来就不能同时取确定值。波函数 $∣ ψ ∣^{2}$ 给的是粒子出现在某处的概率，不是一条轨迹。

把电子塞进越小的空间里， $Δ x$ 越小、 $Δ p$ 越大，平均动能就越高。所以电子塞不进核里 — 越压越想跑。这条不等式直接给原子定了一个最小尺寸（≈ $a_{0}$ ）。

これは測定器の精度の問題ではない。量子力学では「位置」と「運動量」という二つの量はそもそも同時に確定値を取れないのだ。波動関数 $∣ ψ ∣^{2}$ が示すのは粒子がある場所に出現する確率であって、一本の軌跡ではない。

電子をより小さな空間に閉じ込めるほど $Δ x$ は小さく、 $Δ p$ は大きくなり、平均運動エネルギーが上がる。だから電子は核の中まで押し込めない — 圧縮するほど逃げ出そうとする。この不等式が原子に最小サイズ（≈ $a_{0}$ ）を与える根拠だ。

1927Werner Heisenberg· Copenhagen, Denmark

“
我们不可能指定电子此刻的位置和速度 — 它本来就不同时拥有这两个量。

我々は電子の今この瞬間の位置と速度を同時に指定することはできない — そもそも電子はその二つの量を同時には持っていないのだ。
”

Heisenberg 26 岁。他和 Bohr 在哥本哈根研究所整整吵了半年「如何测量电子在哪」，最后他在柏林动物园散步时想通：「位置」和「动量」这两个概念本身就不能同时成立，这跟仪器精度没关系。Born 已在前一年（1926）给出波函数的概率诠释，两者合起来让标准量子力学正式成形。

ハイゼンベルク 26 歳。コペンハーゲンの研究所でボーアと半年にわたり「電子の位置をどう測るか」を議論し続けた末、ベルリン動物園を散歩している最中に得心した：「位置」と「運動量」という二つの概念そのものが同時には成立しない、測定器の精度とは無関係に。前年（1926）にボルンが与えた波動関数の確率解釈とあわせ、標準的量子力学が正式に成立した。

§07

wave function

波函数 — 概率的统治波動関数 — 確率の支配

1926 年 Schrödinger 写下了一条描述量子系统的「运动方程」 — 就像牛顿 $F = ma$ 在经典力学里的地位，它在量子力学里叫薛定谔方程。方程的未知量叫波函数 $ψ (x, t)$ 。

波函数本身没有直接的物理意义 — 它是复数。 Born 1926 年给出了真正的解释： $∣ ψ ∣^{2}$ 是找到粒子的概率密度。

1926 年、シュレーディンガーは量子系を記述する「運動方程式」を書き下ろした — 古典力学におけるニュートンの $F = ma$ に相当する位置を量子力学で占めるのがシュレーディンガー方程式だ。方程式の未知数は波動関数 $ψ (x, t)$ 。

波動関数自体には直接の物理的意味はない — それは複素数だ。本当の意味を与えたのは 1926 年のボルン： $∣ ψ ∣^{2}$ こそが粒子の発見確率密度である。

教科書公式 · 量子力学骨架教科書公式 · 量子力学の骨格

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = \hat{H} ψ

— Schrödinger 方程（一般形式）シュレーディンガー方程式（一般形）

P (x) d x = ∣ ψ (x) ∣^{2} d x

— Born 规则：粒子出现在

[x, x + d x]

的概率ボルンの規則：粒子が

[x, x + d x]

に出現する確率

\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1

— 归一化：粒子必须存在于某处規格化：粒子は必ずどこかに存在する

\hat{H} ψ = E ψ

— 定态方程 — 解出能级

E

与本征态

ψ

定常状態の方程式 — エネルギー準位

E

と固有状態

ψ

を取り出す

EJU 不要求你解方程，但要知道「电子云」= $∣ ψ ∣^{2}$ 的图像，以及能级是方程本征值。EJU は方程式を解かせない。しかし「電子雲」 = $∣ ψ ∣^{2}$ のイメージ、エネルギー準位は方程式の固有値であることは押さえる。

把 Schrödinger 方程套到氢原子（库仑势）上，解出来的是三维驻波，每个波形由三个量子数 ( $n, ℓ, m$ ) 标记，对应现代化学里的 s / p / d / f 轨道。

Bohr 半径、Bohr 能级作为「主量子数 $n$ 对氢的结果」重新浮现出来，但轨道的几何图像完全变了： 1s 是一团球对称的云，2p 是哑铃状，3d 是四瓣花。

水素原子（クーロンポテンシャル）にシュレーディンガー方程式を当てはめて解くと、解は三次元の定常波になり、各波形は三つの量子数 ( $n, ℓ, m$ ) で標識される。これが現代化学で言う s / p / d / f 軌道だ。

ボーア半径やボーア準位は「主量子数 $n$ についての水素の結果」として再び姿を現すが、軌道の幾何的な絵は完全に変わる： 1s は球対称な雲、2p は亜鈴形、3d は四枚花弁。

三组量子数 · quantum numbers三つの量子数 · quantum numbers

$n$ （主量子数，能级）· $ℓ$ （角量子数，轨道形状）· $m_{ℓ}$ （磁量子数，空间朝向）· 外加电子自身的自旋 $m_{s} = \pm 1/2$ 。

Pauli 不相容原理：一个量子态只能住一个电子 — 这是整个元素周期表的几何起源。

$n$ （主量子数：エネルギー準位）· $ℓ$ （方位量子数：軌道の形）· $m_{ℓ}$ （磁気量子数：空間的な向き）· さらに電子自身のスピン $m_{s} = \pm 1/2$ 。

パウリの排他原理：一つの量子状態に住める電子は一個だけ — これが元素周期表全体の幾何学的起源だ。

1926Erwin Schrödinger· Zürich, Switzerland

“
如果 de Broglie 说电子是波，那电子一定满足某种波动方程 — 我就试着把它写出来。

ド・ブロイが電子は波だと言うなら、電子は何らかの波動方程式を満たすはずだ — 私はその式を書こうとしただけだ。
”

Schrödinger 38 岁，在阿尔卑斯山一间小屋里住了三周（据说和一个「神秘情人」一起）推出方程。同一年 Heisenberg 用完全不同的「矩阵力学」也得到了同样的物理结果。两套形式后来被 Dirac 证明等价 — 这是量子力学最优雅的一次「双人共识」。

シュレーディンガー 38 歳、アルプスの山小屋に三週間こもり（噂では「謎めいた愛人」と一緒に）、方程式を書き上げた。同じ年、ハイゼンベルクは全く異なる「行列力学」によって同じ物理的結論に到達した。二つの形式は後にディラックが等価であることを示す — 量子力学が最も優雅に「二人で同じ答えに辿り着いた」瞬間だ。

§08

nucleus & radioactivity

原子核 — 强力、衰变、半衰期原子核 — 強い力・崩壊・半減期

原子核由质子 (proton) 和中子 (neutron) 组成，二者合称核子 (nucleon)。记一个原子核为 $_{Z}^{A} X$ ： $Z$ = 质子数 = 原子序数， $A$ = 质子 + 中子总数 = 质量数， $N = A - Z$ = 中子数。同位素 (isotope) 是 $Z$ 相同、 $N$ 不同的核。

把一堆正电荷挤进 $1 0^{- 15} m$ 大小的空间却不炸开 — 需要一种比电磁力更强的强相互作用 (strong force)。强力的作用范围极短（ $\sim 1 fm$ ），但在范围内比电磁力强 ~100 倍。

质子数太多、中子太少时，强力兜不住电排斥，原子核就不稳定 — 这就是放射性的起源。

原子核は陽子 (proton)と中性子 (neutron)からできており、両者を合わせて核子 (nucleon)と呼ぶ。原子核は $_{Z}^{A} X$ と表記する： $Z$ = 陽子数 = 原子番号、 $A$ = 陽子 + 中性子の合計 = 質量数、 $N = A - Z$ = 中性子数。同位体 (isotope) は $Z$ が同じで $N$ が異なる核。

正電荷の塊を $1 0^{- 15} m$ の空間に押し込んでも吹き飛ばないためには、電磁力よりも強い力 — 強い相互作用 (strong force) — が必要だ。到達距離はきわめて短い（ $\sim 1 fm$ ）が、その範囲内では電磁力より約 100 倍強い。

陽子が多すぎて中性子が足りないと、強い力では電気的反発を抑え切れず、原子核が不安定になる — これが放射能の起源だ。

三种基本衰变 · α / β / γ三种基本衰变 · α / β / γ

$α$ 衰变：放出一个 $_{2}^{4} He$ 核， $A \to A - 4, Z \to Z - 2$ 。穿透力最弱（一张纸就挡住），但电离能力最强。
$β^{-}$ 衰变：一个中子变成质子 + 电子 + 反中微子， $A$ 不变， $Z \to Z + 1$ 。穿透力中等（几毫米铝）。
$γ$ 衰变：激发态的核放出一颗高能光子， $A$ 、 $Z$ 都不变。穿透力最强（要厚铅或混凝土）。

$α$ 带正电偏转、 $β$ 带负电偏转、 $γ$ 不偏转 — 这是 1899 年 Rutherford 磁场实验鉴定三者的原始方法。

$α$ 崩壊： $_{2}^{4} He$ 核を放出、 $A \to A - 4, Z \to Z - 2$ 。透過力は最弱（紙一枚で止まる）だが、電離能力は最大。
$β^{-}$ 崩壊：中性子 → 陽子 + 電子 + 反ニュートリノ、 $A$ は不変、 $Z \to Z + 1$ 。透過力は中程度（数 mm のアルミ）。
$γ$ 崩壊：励起状態の核が高エネルギー光子を放出、 $A$ ・ $Z$ は不変。透過力は最大（厚い鉛またはコンクリートが必要）。

$α$ は正電荷で偏向、 $β$ は負電荷で偏向、 $γ$ は偏向しない — これが 1899 年ラザフォードが磁場実験で三者を見分けた最初の方法。

教科書公式 · 放射性衰变教科書公式 · 放射性崩壊

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

— 指数衰减；

λ

是衰变常数指数減衰；

λ

は崩壊定数

N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}

— 半衰期形式（EJU 用这条就够了）半減期形式（EJU はこれで十分）

T_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} \approx \frac{0.693}{λ}

— 半衰期和衰变常数的关系半減期と崩壊定数の関係

A = λ N = \frac{ln 2}{T _{1/2}} N

— 活度（单位时间衰变次数，单位 Bq）放射能（単位時間あたりの崩壊数、単位 Bq）

例题： $T_{1/2} = 5$ 年， $t = 20$ 年后剩多少？→ $(1/2)^{4} = 1/16$ 。例： $T_{1/2} = 5$ 年、 $t = 20$ 年後の残量は？ → $(1/2)^{4} = 1/16$ 。

结合能 (binding energy)： 把核子一个一个拆开需要的能量。核子数越多 → 结合能越大 — 但不是线性的。

每核子平均结合能在 $A \approx 56$ （铁）附近最大。比铁轻的核可以聚变放能（恒星核心），比铁重的核可以裂变放能（核反应堆、原子弹）。铁是宇宙能量释放的分水岭。

聚变 (fusion)：轻核拼成重核，例如 $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n$ 。这是太阳发光、氢弹爆炸、以及 ITER 托卡马克在挑战的反应。

裂变 (fission)：重核劈开，例如 $^{235} U + n \to^{92} Kr +^{141} Ba + 3 n$ 。多出来的中子能触发下一次裂变 — 就是链式反应。

結合エネルギー (binding energy)： 核子を一つずつ引き離すのに必要なエネルギー。核子数が多いほど結合エネルギーは大きくなる — ただし線形ではない。

核子一個あたりの平均結合エネルギーは $A \approx 56$ （鉄）付近で最大になる。鉄より軽い核は核融合でエネルギーを放出（恒星の中心）、鉄より重い核は核分裂でエネルギーを放出（原子炉・原子爆弾）。鉄は宇宙のエネルギー解放における分水嶺だ。

核融合 (fusion)：軽い核どうしが合体して重い核になる。例： $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n$ 。太陽の輝き、水素爆弾、そして ITER トカマクが挑戦している反応だ。

核分裂 (fission)：重い核が割れる。例： $^{235} U + n \to^{92} Kr +^{141} Ba + 3 n$ 。余った中性子が次の分裂の引き金を引く — これが連鎖反応だ。

§09

mass-energy equivalence

E = mc² — 质量就是能量的一种形式E = mc² — 質量はエネルギーの一形態である

1905 年 Einstein 从狭义相对论推出：一块静止的物质本身就含有能量，大小是 $E = m c^{2}$ 。这个 $c^{2}$ 系数大得吓人 — $c^{2} \approx 9 \times 1 0^{16} J/kg$ ，也就是 1 克物质完全转化能得到 $9 \times 1 0^{13} J$ ≈ 2 万吨 TNT。

日常生活里看不到这个等价 — 化学反应释放的能量对应的质量亏损只有几个 $1 0^{- 9}$ 量级，测不出来。

但在核反应里，质量亏损 $Δ m$ 是可观测的，放出的能量恰好就是 $Δ m \cdot c^{2}$ 。

1905 年、アインシュタインは特殊相対論から導いた：静止した物質それ自体がエネルギーを含む、その大きさは $E = m c^{2}$ だと。この $c^{2}$ という係数が桁違いに大きい — $c^{2} \approx 9 \times 1 0^{16} J/kg$ 、つまり 1 g の物質を完全に変換すれば $9 \times 1 0^{13} J$ ≈ TNT 換算で約 2 万トン分のエネルギーになる。

日常生活でこの等価性が見えないのは、化学反応で放出されるエネルギーに対応する質量欠損がせいぜい $1 0^{- 9}$ オーダーで、測定できないからだ。

しかし核反応では、質量欠損 $Δ m$ は観測可能で、放出エネルギーはちょうど $Δ m \cdot c^{2}$ に一致する。

教科書公式 · 质能等价教科書公式 · 質量 ↔ エネルギー

E_{0} = m c^{2}

— 静能；

m

是静止质量静止エネルギー；

m

は静止質量

E = γ m c^{2}, γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}

— 总能量（相对论）；低速时退化为

m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

全エネルギー（相対論）；低速では

m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

に帰着する

Δ E = Δ m \cdot c^{2}

— 核反应放能 = 质量亏损 ×

c^{2}

核反応の放出エネルギー = 質量欠損 ×

c^{2}

1 u \cdot c^{2} \approx 931.5 MeV

— 1 原子质量单位对应 931.5 MeV — 核物理里常用的换算1 原子質量単位は 931.5 MeV に相当 — 核物理でよく使う換算

例题：氘氚聚变 $Δ E = 17.6 MeV$ ；把反应物、产物的原子质量相减 × $931.5$ 就能得到。例：D-T 核融合の $Δ E = 17.6 MeV$ ；反応物と生成物の原子質量を引き算して × $931.5$ すれば得られる。

把前五章串起来：

第一章 *力学*：物体怎么动。第二章电磁：场怎么传。第三章波：振动怎么跨越空间。第四章 热力学：为什么时间往前。第五章原子：连续的世界为什么是离散的。

高中范围的物理到此走完。再往后的量子场论、广义相对论、凝聚态、宇宙学，都建立在这五块上面。

ここまでの五章をひとつに繋げる：

第一章 *力学*：物体はどう動くか。第二章 電磁気：場はどう伝わるか。第三章波動：振動はどう空間を越えるか。第四章 熱力学：なぜ時間は前へ進むか。第五章原子：連続な世界がなぜ離散的なのか。

高校範囲の物理はここで終点。これより先 — 量子場理論、一般相対論、物性物理、宇宙論 — はすべて、この五つの土台の上に建っている。

./glyph-archive

h
Planck constant — 普朗克常数 $\approx 6.626 \times 1 0^{- 34} J\cdots$ プランク定数 $\approx 6.626 \times 1 0^{- 34} J\cdots$
Planck 1900 年从黑体曲线里凑出来的常数，本来只是数学技巧，结果成了量子力学的基石。

プランクが 1900 年に黒体曲線を合わせるために導入した定数。当初は単なる数学的便宜だったが、結果として量子力学の土台になった。
ℏ
h-bar — 约化普朗克常数 = $h /2 π$ 換算プランク定数 = $h /2 π$
Dirac 1926 年引入。用角频率 $ω = 2 π ν$ 时， $E = ℏ ω$ 比 $E = h ν$ 看起来更干净 — 所以理论物理更偏爱 $ℏ$ 。

ディラックが 1926 年に導入。角振動数 $ω = 2 π ν$ を使うと $E = ℏ ω$ のほうが $E = h ν$ よりも見かけが整う — そこで理論物理は $ℏ$ を好む。
ν
nu — 频率 ( $Hz$ )振動数 ( $Hz$ )
希腊字母 $ν$ ，物理里专门用来表示频率；注意别跟拉丁 $v$ （速度）混。

ギリシャ文字 $ν$ 、物理で振動数を表す専用記号。ラテン文字 $v$ （速度）と混同しないこと。
λ
lambda — 波长 ( $m$ )波長 ( $m$ )
希腊字母 $λ$ ；在这一章既用于光波长，也用于 de Broglie 物质波长、以及放射性衰变常数（含义看上下文）。

ギリシャ文字 $λ$ ；この章では光の波長、ド・ブロイの物質波長、さらに放射性崩壊定数（意味は文脈次第）に使われる。
ψ
psi — 波函数波動関数
希腊字母 $ψ$ ，Schrödinger 1926 年选用，来自 wave 的谐音。 $∣ ψ ∣^{2}$ 是概率密度，是量子力学里所有可观测量的起点。

ギリシャ文字 $ψ$ 。シュレーディンガーが 1926 年に採用、wave の語感に近い記号として選ばれた。 $∣ ψ ∣^{2}$ は確率密度であり、量子力学のあらゆる観測量の出発点となる。

./chapter_05_recap

黑体 & Planck · $E = h ν$ 。能量不连续，只能一份一份交换。
光电效应 · $K_{m a x} = h ν - W$ 。光是光子的集合，一光子打一电子。
Compton · $Δ λ = \frac{h}{m _{e} c} (1 - cos θ)$ 。光子有动量 $p = h / λ$ 。
de Broglie · $λ = h / p$ 。所有物质都有波性 — 电子会衍射。
Bohr · $E_{n} = - 13.6/ n^{2} eV$ 。跃迁释放光子，解释氢光谱。
Heisenberg · $Δ x Δ p \geq ℏ/2$ 。不是测量不够好，是自然本身。
Schrödinger · $i ℏ \partial_{t} ψ = \hat{H} ψ$ ； $∣ ψ ∣^{2}$ 是概率密度。
核衰变 · $N (t) = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ ；α / β / γ 三种衰变，各有穿透力。
质能等价 · $E = m c^{2}$ ；核反应 $Δ E = Δ m \cdot c^{2}$ ； $1 u \approx 931.5 MeV$ 。
高中物理到这里走完。再往后是量子场论、广义相对论、凝聚态、宇宙学。

黒体 & プランク · $E = h ν$ 。エネルギーは連続ではなく、ひと粒ずつ交換される。
光電効果 · $K_{m a x} = h ν - W$ 。光は光子の集合、一光子と一電子の衝突。
コンプトン · $Δ λ = \frac{h}{m _{e} c} (1 - cos θ)$ 。光子は運動量 $p = h / λ$ を持つ。
ド・ブロイ · $λ = h / p$ 。全ての物質に波の性質 — 電子も回折する。
ボーア · $E_{n} = - 13.6/ n^{2} eV$ 。遷移時に光子を放出し、水素スペクトルを説明する。
ハイゼンベルク · $Δ x Δ p \geq ℏ/2$ 。測定の限界ではなく、自然そのものの限界。
シュレーディンガー · $i ℏ \partial_{t} ψ = \hat{H} ψ$ ； $∣ ψ ∣^{2}$ は確率密度。
核崩壊 · $N (t) = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ ；α / β / γ の三種、それぞれ透過力が異なる。
質量とエネルギー · $E = m c^{2}$ ；核反応では $Δ E = Δ m \cdot c^{2}$ ； $1 u \approx 931.5 MeV$ 。
高校物理はここで終点。これより先は量子場理論、一般相対論、物性物理、宇宙論へと続く。

./quick-quiz

本章 Quick Quiz · 1 题章末 Quick Quiz · 1 問

从本章题库随机抽。答完看结果，无需登录也能玩；登录后做对的会写入「已做」标记。この章の問題集からランダムで出題。ログインなしで遊べる；ログイン中なら正解が「済」として記録されます。