电磁学 — Electromagnetism電磁気学 — Electromagnetism

两千年来，人类把「电」和「磁」当成两件互不相关的事。 琥珀摩擦毛皮能吸小纸片 — 这是电（希腊语 ēlektron 就是琥珀）。 磁石能吸铁针 — 这是磁。两条线，从古希腊一路并行到 18 世纪末。

直到 1820 年，丹麦人奥斯特上课时把通电导线放到指南针旁 — 指南针歪了。 从那一刻起，电和磁开始纠缠。45 年后，麦克斯韦用四条方程把它们写成同一件事， 顺带回答了「光是什么」。

这一章就是这场合并的剧本。EJU 里的电磁题占比很大，公式多但彼此讲的都是一件事。

二千年のあいだ、人類は「電気」と「磁気」を別々の現象として扱ってきた。 琥珀を毛皮でこすると小さな紙片を吸い寄せる — これが電気（ギリシャ語 ēlektron は琥珀そのもの）。 磁石は鉄を引きつける — これが磁気。二本の線が古代ギリシャから 18 世紀末まで平行に走り続けた。

1820 年、デンマークのエルステッドが授業中に通電した導線を方位磁針のそばに置いた瞬間 — 針が振れた。そこから電気と磁気はもつれ始める。45 年後、マクスウェルが四つの方程式で両者を 同じ一つの現象に書き直し、ついでに「光とは何か」にも答えた。

この章はその統合のシナリオだ。EJU 物理で電磁分野は配点が大きく、公式は多いが すべて同じ一つの話を言い換えているにすぎない。

为什么是平方反比？想象一个点电荷辐射出「电力线」朝四面八方均匀散开。 到半径 $r$ 处，这些线散布在球面 $4\pi r^2$ 上 — 面积随 $r^2$ 增长。 所以单位面积上的线密度随 $1/r^2$ 减小。引力、静电力、声音强度、光照度全都是平方反比， 原因都在这个 $4\pi r^2$ 里。

なぜ逆二乗なのか？点電荷が四方八方に「電気力線」を均等に放射する様子を想像してほしい。 半径 $r$ の位置では、線は球面 $4\pi r^2$ の上に広がる — 面積は $r^2$ で増える。 だから単位面積あたりの線密度は $1/r^2$ で減る。万有引力、静電気力、音の強さ、光の照度 — すべて逆二乗になる理由は、この $4\pi r^2$ の中にある。

库仑定律写的是两个电荷之间的力。但如果我想问：「这一点的空间里有多强的电作用？」 — 这时我引入一个新概念叫电场：

クーロンの法則は二つの電荷の間にはたらく力を述べる。だが「この一点の空間にどれだけ強い 電気作用があるか？」と問いたいときには、新しい概念が要る — それが電場だ：

把一个很小的测试电荷 $q$ 放到该点，测得力 $\vec{F}$， 那么该点的电场就是 $\vec{F}/q$。这样一来电场只跟空间位置有关、和测试电荷无关 — 电场是空间的一种属性，像风一样弥漫在那里。

电势 $V$ 是对应的能量概念：把单位正电荷从无穷远移到该点需要做多少功。 电势差就是高中物理里的「电压」。

十分に小さな試験電荷 $q$ をその点に置き、はたらく力 $\vec{F}$ を測れば、 その点の電場は $\vec{F}/q$。こうすれば電場は空間位置だけで決まり、試験電荷に依存しない — 電場は風のように空間に満ちる、一種の属性になる。

電位 $V$ は対応するエネルギー量：単位正電荷を無限遠からその点まで運ぶ仕事の値。 電位差が高校物理で言う「電圧」だ。

电场线的几条约定（法拉第画了一辈子）：

• 切线方向 = 该点电场方向；
• 从正电荷出发，终结于负电荷；
• 线越密，场越强；
• 永不交叉、永不分叉（否则一点上会有两个方向）。

等势面是电势相等的那些点连成的面，总是垂直于电场线。 因为沿等势面移动，电势没变，静电力不做功，所以力必须垂直于位移方向。 匀强电场里等势面是平行平面；点电荷周围是同心球面。

高斯定律（概念版）：任何闭合曲面穿出去的电场线条数， 只和这个面包起来的总电荷有关。这是「平方反比 + 三维空间」的几何必然结果。 EJU 里以概念和特例计算为主。

电场叠加：多个电荷存在时， ${\vec{E}}_{\text{合}}=\sum {\vec{E}}_i$ — 电场按矢量求和。 电势则按标量求和：$V_{\text{合}}=\sum V_i$。 这也是为什么电势比电场好算 — 标量题只加数字，矢量题得分解方向。

電気力線のルール（ファラデーが生涯描き続けたもの）：

• 接線方向 = その点の電場の向き；
• 正電荷から出て、負電荷に入る；
• 密度が高いほど場が強い；
• 交差も分岐もしない（さもなくば一点に二つの向きができてしまう）。

等電位面は電位の等しい点を結んだ面で、常に電気力線に垂直になる。 等電位面上を動いても電位は変わらず静電気力は仕事をしない、だから力は変位に直交する必要がある。 一様な電場では等電位面は平行な平面、点電荷の周りでは同心球面になる。

ガウスの法則（概念版）：任意の閉曲面を突き抜ける電気力線の総数は、 その面が囲む総電荷だけで決まる。「逆二乗則 + 三次元空間」の幾何学的必然だ。 EJU では概念把握と特殊形の計算が中心。

電場の重ね合わせ：複数の電荷があるとき、 ${\vec{E}}_{\text{合}}=\sum {\vec{E}}_i$ — 電場はベクトルとして足す。 電位はスカラーとして足す：$V_{\text{合}}=\sum V_i$。 電位のほうが計算が楽なのはこのため — スカラーは数字を足すだけ、ベクトルは方向まで分解しなければならない。

电容器 (コンデンサー) 是两片几乎碰到又没碰到的金属板。 给它通电，正电荷堆在一面板子上、负电荷堆在另一面；撤掉电源，电荷还留在那里 — 它把电场「锁」在了板子之间。

今天你相机的闪光灯、按键板的触控、电源里的滤波， 全在偷偷用这个 200 年前的老元件。

能装多少电，用电容 $C$ 衡量：

コンデンサー (capacitor) は、ほぼ触れ合いそうで触れていない 2 枚の金属板でできている。 電源につなぐと正電荷が一方の板に、負電荷がもう一方の板に貯まる；電源を外しても電荷は残る — 電場を板の間に「閉じ込めた」のだ。

今日カメラのフラッシュ、タッチキーボード、電源回路のフィルタリング — どれもこの 200 年前の 部品を、こっそり使っている。

どれだけ電気を貯められるかは電気容量 $C$ ではかる：

单位是法拉 $\text{F}=\text{C/V}$，纪念法拉第。$1\text{F}$ 是个巨大的量 — 日常电路里常用 pF、nF、μF。

对最经典的平行板电容器，容值由几何决定：

単位はファラド $\text{F}=\text{C/V}$。ファラデーへの敬意。$1\text{F}$ は巨大な量 — 日常の回路では pF、nF、μF が普通だ。

最も古典的な平行板コンデンサーでは、容量は幾何学だけで決まる：

为什么 $C\propto A/d$？板子面积 $A$ 越大，能站的电荷越多；间距 $d$ 越小， 同样电荷激发的电场更近、电压差就更小 — 也就能装更多电荷而不达到击穿电压。

介电体（絶縁物）：在板子之间塞一块玻璃、陶瓷、油纸，电容会变大 ${\epsilon }_r$ 倍（相对介电常数）。原理是介质里的分子被电场极化成微型偶极子， 产生反向电场抵消一部分原场，使得同样电荷下电压更小。

常见 ${\epsilon }_r$：真空 1 · 空气 $\approx 1.0006$ · 纸 $\approx 3.7$ · 玻璃 $\approx 5$ · 水 $\approx 80$ · 钛酸钡陶瓷 几千。

电容里储存的能量存放在电场本身里。 每立方米的电场能量密度是 $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ — 这条式子后面在光和电磁波里还会再用（能量 = 波的振幅平方）。

なぜ $C\propto A/d$？板の面積 $A$ が広いほど多くの電荷を載せられる； 間隔 $d$ が狭いほど同じ電荷が作る電場の経路が短くなり電圧差は小さい — つまり絶縁破壊に至るまでより多くの電荷を貯められる。

誘電体（絶縁物）：板の間にガラス、陶器、油紙を挟むと容量は ${\epsilon }_r$ 倍に （比誘電率）。原理は誘電体の分子が電場で分極して微小双極子になり、逆向きの電場を作って 元の電場の一部を打ち消す — 同じ電荷でも電圧は小さくなる。

代表的な ${\epsilon }_r$：真空 1 · 空気 $\approx 1.0006$ · 紙 $\approx 3.7$ · ガラス $\approx 5$ · 水 $\approx 80$ · チタン酸バリウム陶器 数千。

コンデンサーが蓄えるエネルギーは電場そのものに格納される。 単位体積あたりの電場のエネルギー密度は $u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ — この式は後の光・電磁波の章で再登場する（エネルギー = 波の振幅の二乗）。

电荷流动起来就是电流。定义：

電荷が流れると電流になる。定義：

单位是安培 $\text{A}=\text{C/s}$。一条普通 LED 灯里大约 $10\text{mA}$ = 每秒 $10^{-2}/1.6\times 10^{-19}\approx 6\times 10^{16}$ 个电子涌过 — 一个天文数字。

把电压加在一段导体两端，电流和电压成正比，这就是欧姆定律：

単位はアンペア $\text{A}=\text{C/s}$。普通の LED に流れる $10\text{mA}$ は、毎秒 $10^{-2}/1.6\times 10^{-19}\approx 6\times 10^{16}$ 個の電子が通過する量 — 天文学的な数だ。

導体の両端に電圧をかけると、電流は電圧に比例する。これがオームの法則：

电阻的物理图像很直白 — 电子在金属里被晶格不停撞，定向漂移的同时把动能扔成热（焦耳热）。 电阻值由材料和几何决定：

抵抗の物理像は単純 — 金属中の電子は格子に絶えず散乱され、ドリフト運動する一方で運動エネルギーを熱に変える（ジュール熱）。 抵抗値は材料と幾何で決まる：

电阻率 $\rho$ 是材料的本性，和形状无关。 铜 $\approx 1.7\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$、 铝 $\approx 2.8\times 10^{-8}$、 铁 $\approx 10^{-7}$、 锗 $\approx 0.5$、 绝缘体 $\approx 10^{12}$。温度上升 $\rho$ 也上升（对金属）， 所以电灯泡冷电阻小、亮起来后电阻会增大好几倍。

电源的起电力 (EMF) 与内阻：任何电池内部都有一点点电阻 $r$。 电流 $I$ 通过时，一部分电压会「被自己吃掉」：

抵抗率 $\rho$ は材料の本性で、形には依らない。 銅 $\approx 1.7\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$、 アルミ $\approx 2.8\times 10^{-8}$、 鉄 $\approx 10^{-7}$、 ゲルマニウム $\approx 0.5$、 絶縁体 $\approx 10^{12}$。金属では温度が上がると $\rho$ も上がる、 だから電球は冷えているとき抵抗が小さく、点灯後は数倍に膨らむ。

電源の起電力 (EMF) と内部抵抗：どの電池にもわずかな内部抵抗 $r$ がある。 電流 $I$ が流れると電圧の一部が「自分自身に食われる」：

基尔霍夫定律 (Kirchhoff) 是求解复杂电路的两条记账原则：

• 节点律 (KCL)：流入 = 流出 — 本质是电荷守恒。 $\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$
• 回路律 (KVL)：绕一圈电压升降相加 = 0 — 本质是能量守恒。 $\sum V=0$

惠斯通电桥是一种精密测电阻的配置：四个电阻组成菱形，中间接检流计。 调节其中一个电阻使检流计恰好指零时，桥达到「平衡」：

キルヒホッフの法則 (Kirchhoff) は複雑回路を解くための二つの帳簿原理：

• 第一法則 (KCL)：流入 = 流出 — 本質は電荷保存。 $\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$
• 第二法則 (KVL)：閉回路を一周すると電圧の上下の総和 = 0 — 本質はエネルギー保存。 $\sum V=0$

ホイートストンブリッジは抵抗を精密に測る回路：4 個の抵抗を菱形に組み、 中央に検流計を入れる。一つの抵抗を調整して検流計がちょうどゼロを指せば「平衡」状態：

电阻是线性元件：$V$ 与 $I$ 严格成正比。但自然界还有一种非线性元件 — 它的电流不是匀速跟着电压走，而是「电压不到某个门槛就完全不导通；过了门槛突然开闸」。这就是半导体， 是 1947 年贝尔实验室发现晶体管效应之后，把整个 20 世纪后半段的电子工业推上去的元件。

最经典的半导体器件是PN 结：把掺了「多空穴」的 $P$ 型硅和掺了「多电子」的 $N$ 型硅贴在一起。 结面附近电子和空穴互相扩散并复合，留下一对带相反符号的固定离子层，形成从 $N$ 指向 $P$ 的内建电场 — 这就是耗尽层。这个内建电场让 PN 结天然具备「单向导通」性质：

• 正向偏压（$P$ 接 $+$、$N$ 接 $-$）：外电场抵消内建电场，载流子穿过结面 — 电流随电压指数增长 $I\propto e^{V/V_T}$。
• 反向偏压（$P$ 接 $-$、$N$ 接 $+$）：外电场和内建电场同向叠加，耗尽层撑得更宽 — 电流被截断（截止电压以下几乎为零）。
• 击穿：反向电压继续加大，超过某个临界值 $V_{BR}$ 后耗尽层电场强到能把电子直接从共价键里拽出来 — 电流瞬间陡升。

理想 PN 结的伏安特性可以用一行公式概括：

抵抗は線形素子：$V$ と $I$ が厳密に比例する。しかし自然界には非線形素子も存在する — 電圧があるしきい値に達するまでは全く流れず、超えた瞬間にいきなり開く。これが半導体。 1947 年ベル研究所がトランジスタ効果を発見して以降、20 世紀後半の電子産業全体を押し上げた素子だ。

最も古典的な半導体素子がPN 接合：「正孔が多い」$P$ 型シリコンと「電子が多い」$N$ 型シリコンを貼り合わせる。 接合面では電子と正孔が拡散して再結合し、両側に符号の異なる固定イオン層が残り、$N$ から $P$ へ向かう内蔵電場を作る — これが空乏層。この内蔵電場ゆえ PN 接合は天然の「一方向通電」素子になる：

• 順バイアス（$P$ が $+$、$N$ が $-$）：外場が内蔵場を打ち消し、キャリアが接合を渡る — 電流は電圧に対し指数的に増加 $I\propto e^{V/V_T}$。
• 逆バイアス（$P$ が $-$、$N$ が $+$）：外場と内蔵場が同方向に重なり空乏層が広がる — 電流は遮断（しきい以下ほぼゼロ）。
• 降伏：逆電圧が臨界 $V_{BR}$ を超えると空乏層の電場が電子を直接引き剥がす — 電流が一気に立ち上がる。

理想 PN 接合の I-V 特性は一行で書ける：

把这种「按电压开关」的元件用作布尔运算，就得到了所有计算机的根基 — 逻辑电路。 每个 MOSFET 就是一个由栅压 $V_G$ 控制的开关：当 $V_G>V_{th}$ 时沟道导通， 否则截止；几个开关串并联就能实现 $\mathrm{AND}$ / $\mathrm{OR}$ / $\mathrm{NOT}$， 进一步组合出 $\mathrm{XOR}$、半加器、全加器、ALU、CPU。互补 MOSFET（$\mathrm{CMOS}$）的好处是 静态时栅极几乎不耗电，只在切换瞬间发热 — 这是手机芯片能跑 250 亿管子还不烫手的原因。

下面这个二维实验里你可以点击 $A$、$B$ 两个输入端，亲手翻转 6 种基本门的输出， 再切到「半加器」看 $\mathrm{XOR}+\mathrm{AND}$ 怎么算出 $1+1=(10{)}_2$：

この「電圧で開閉する」素子をブール演算に転用すると、すべてのコンピュータの土台 — 論理回路になる。 各 MOSFET はゲート電圧 $V_G$ で制御されるスイッチ：$V_G>V_{th}$ でチャネルが導通、 そうでなければ遮断；スイッチを直列・並列に組めば $\mathrm{AND}$ / $\mathrm{OR}$ / $\mathrm{NOT}$、 さらに組み合わせれば $\mathrm{XOR}$・半加算器・全加算器・ALU・CPU ができる。相補 MOSFET（$\mathrm{CMOS}$）は 静的状態でほぼ電流を消費せず、切替の瞬間にだけ発熱する — スマホ SoC が 250 億トランジスタを動かしても熱くならない理由だ。

下の 2D 実験では端子 $A$・$B$ をクリックして 6 種の基本ゲートの出力を反転できる。 「半加算器」モードに切替えれば $\mathrm{XOR}+\mathrm{AND}$ がどうやって $1+1=(10{)}_2$ を計算するか手で確かめられる：

把电阻 $R$ 和电容器 $C$ 串联，再给它们接上电源或把它们短路 — 电容器会像往气球里吹气一样被充电，或像漏气一样被放电。 过程不是瞬间完成的，它遵循一种优雅的指数规律。

控制「快慢」的单一参数是时间常数：

抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ を直列につなぎ、電源を加えるか短絡させると — コンデンサーは風船を膨らますように充電され、または空気が抜けるように放電する。 瞬時には終わらず、優雅な指数則に従う。

この「速さ」を一つで決めるパラメータが時定数：

$\tau$ 的单位是秒（$\Omega \times \text{F}=\text{s}$）。在一个 $\tau$ 时间内，电容器的电压差接近平衡值的 $1-1/e\approx 63\%$；经过 $3\tau$ 基本达到 95%，$5\tau$ 后几乎完全平衡。

$\tau$ の単位は秒（$\Omega \times \text{F}=\text{s}$）。時間 $\tau$ でコンデンサーの電圧は 平衡値の $1-1/e\approx 63\%$ に達し、$3\tau$ でほぼ 95%、$5\tau$ で完全平衡に近い。

为什么是指数？充电的瞬间，电容两端电压很小，电流很大； 随着电容被充起来，两端电压接近电源电压，驱动电流的「电压差」越来越小，电流也就越来越小 — 变化率正比于「剩下还能变的量」，数学上就是指数。

这条公式是很多实际系统的骨架：相机闪光灯充电的「呜～」声（$\tau \approx$ 几秒）、 键盘按键的消抖（$\tau \approx$ 毫秒）、示波器探头补偿 — 都在调同一个 $\tau =RC$。

なぜ指数なのか？充電開始の瞬間、コンデンサーの電圧は小さく電流は大きい； 充電が進むとコンデンサーの電圧が電源電圧に近づき、電流を駆動する「電圧差」が小さくなり、 電流も小さくなる — 変化率が「まだ残っている分」に比例する、これが数学的に指数になる理由だ。

この式は実用システムの骨格でもある：カメラのフラッシュ充電の「ピー」音（$\tau \approx$ 数秒）、 キーボードのチャタリング除去（$\tau \approx$ ミリ秒）、オシロのプローブ補正 — どれも同じ $\tau =RC$ を調整しているだけ。

注意上面那条「回旋周期与速度无关」 — 这就是回旋加速器 (cyclotron) 的工作原理。 粒子无论跑多快，绕一圈的时间都一样，所以可以用一个固定频率的电场一直「踢」它加速。 劳伦斯 1931 年靠这条原理造出人类第一台粒子加速器。

电流怎么造磁？EJU 三个必背源：

上の式の「回転周期は速度に依存しない」に注目 — これがサイクロトロン (cyclotron) の動作原理だ。 粒子の速さが変わっても 1 周の時間は同じなので、固定周波数の電場で繰り返し「蹴って」加速できる。 ローレンスは 1931 年、この原理で人類初の粒子加速器を作った。

電流はどうやって磁場を作る？EJU 必修の 3 つの公式源：

右手、左手的分工（EJU 必考）：

• 安培右手螺旋（电流 → 磁场）：右手握住导线，拇指指电流方向， 四指绕的方向就是 $\vec{B}$。
• 弗莱明左手（电生动 · 电动机）：食指 $\vec{B}$、中指 $\vec{I}$、 拇指 $\vec{F}$（正电荷受力方向；负电荷反过来）。
• 弗莱明右手(动生电 · 发电机)：食指 $\vec{B}$、拇指 $\vec{v}$、 中指 = 感应电流方向（§8 再细讲）。

右手と左手の役割分担（EJU 頻出）：

• アンペールの右ねじ（電流 → 磁場）：右手で導線を握り、親指を電流方向に向ければ、 残り四本指の巻く向きが $\vec{B}$ の向き。
• フレミング左手の法則（電気 → 動き · 電動機）：人差指 $\vec{B}$、中指 $\vec{I}$、 親指 $\vec{F}$（正電荷の受力方向；負電荷では逆）。
• フレミング右手の法則（動き → 電気 · 発電機）：人差指 $\vec{B}$、親指 $\vec{v}$、 中指 = 誘導電流の向き（§8 で詳述）。

奥斯特告诉我们：电流生磁。法拉第盯着这条规律问了一个看似对称的问题 — 磁，能不能反过来生电？他花了十年找答案。

1831 年他终于发现：磁铁静止在线圈里什么都不会发生；但磁铁插入或抽出 的那一瞬，线圈里会冒出电流。关键词是变化。

エルステッドが教えた：電流が磁場を生む。ファラデーはこの法則を見つめ、対称な問いを立てた — 磁気は逆に電気を生めるか？答えを見つけるのに 10 年かかった。

1831 年、ついに発見した：磁石が静止している間は何も起こらない；しかし磁石を 差し込む、または引き抜く瞬間、コイルに電流が流れる。鍵は変化だ。

为什么必须「变化」？想象你拿磁铁慢慢接近线圈： 线圈内的磁通量 $\Phi =BA$ 从小变大。 这个变化本身就是一种电场 — 变化的磁场会在周围诱导出一圈电场（后面麦克斯韦会告诉你这是基本方程）。 这个诱导电场推着线圈里的自由电子跑，就形成了电流。

发电机、变压器、电感器、感应炉 — 全都是这条公式。你家墙里插座的 $50\text{Hz}$ 交流电， 就是某个发电厂里的线圈在磁场里每秒匀速转 50 圈、不断切割磁力线而产生的。

なぜ「変化」が必要なのか？磁石をゆっくりコイルに近づけてみよう： コイルを貫く磁束 $\Phi =BA$ が小さい値から大きい値へ増える。 この変化そのものが一種の電場を作る — 変化する磁場は周囲に円状の電場を誘導する （後にマクスウェルがこれを基本方程にする）。誘導された電場がコイル内の自由電子を押して電流が流れる。

発電機、変圧器、インダクタ、誘導炉 — すべてこの一式に支えられている。 家庭のコンセントに来ている $50\text{Hz}$ の交流電気は、 どこかの発電所のコイルが毎秒 50 回均等に磁場中を回転し、磁力線を切り続けて作っているのだ。

交流发电的原理：把一个 $N$ 匝线圈放在均匀磁场里，让它以角速度 $\omega$ 转动， 穿过线圈的磁通量就随时间做余弦变化 $\Phi =BA\cos \omega t$。 根据法拉第定律，线圈两端的感应电动势为：

交流発電の原理：一様磁場中に $N$ 巻のコイルを置き、角速度 $\omega$ で回転させると、 コイルを貫く磁束は時間とともに余弦変化する：$\Phi =BA\cos \omega t$。 ファラデーの法則より、コイルの両端に誘導される起電力は：

这就是正弦交流电的来源 — 其最大值 ${\epsilon }_0=NBA\omega$。世界上几乎所有发电站（火电、水电、核电、风电）的最后一步， 都是旋转某种磁铁-线圈组合。

これが正弦波交流電気の出どころで、最大値は ${\epsilon }_0=NBA\omega$。 世界のほとんどすべての発電所（火力、水力、原子力、風力）の最終段は、何らかの磁石とコイルの組み合わせを 回転させているにすぎない。

发电机里线圈在磁场中转动，产生的电动势随时间按正弦变化，所以交流电的电压和电流都是正弦量。

计算交流电路，麻烦主要在相位：电压和电流通常不同步，电感里电流落后电压，电容里电流超前。要把几个相位不同的正弦相加，或者对它们求导（电感、电容的伏安关系里带导数），直接用三角函数很繁琐。

用复数表示正弦量，能把这些运算变成普通的代数。下面先建立复数和复平面，再用它来算交流电路。

発電機ではコイルが磁場の中で回り、生じる起電力が時間とともに正弦的に変化する。だから交流の電圧も電流も正弦量だ。

交流回路の計算で面倒なのは主に位相だ：電圧と電流はふつう同期せず、インダクタでは電流が電圧より遅れ、コンデンサーでは進む。位相の違う正弦をいくつも足したり微分したり（インダクタ・コンデンサーの電圧電流関係には微分が入る）を三角関数で直接やると煩雑になる。

正弦量を複素数で表すと、これらの計算がふつうの代数になる。まず複素数と複素平面を用意し、それで交流回路を計算する。

复数 $a+bj$ 对应复平面上的一个点，也可以看成从原点指向这个点的一根箭头：横坐标是 $a$，纵坐标是 $b$。横轴叫实轴，纵轴叫虚轴。

$j$ 代表旋转。一个复数乘以 $j$，对应的箭头逆时针转 $90^{\circ }$；乘两次转 $180^{\circ }$，也就是乘 $-1$，所以 $j^2=-1$。

一个正弦量有幅度也有相位，正好对应这样一根有长度、有方向的箭头。把交流量画成随时间旋转的箭头：箭头的角度是相位，长度是幅度。

（数学里虚数单位记作 $i$；电学为了不和电流的 $i$ 混淆，改记 $j$，本章也用 $j$。）

複素数 $a+bj$ は複素平面上の一点に対応し、原点からその点へ向かう一本の矢印とも見なせる：横座標が $a$、縦座標が $b$。横軸を実軸、縦軸を虚軸という。

$j$ は回転を表す。複素数に $j$ を掛けると矢印は反時計回りに $90^{\circ }$ 回り、二回掛ければ $180^{\circ }$、つまり $-1$ を掛けることになり $j^2=-1$。

正弦量は振幅と位相をもち、ちょうどこの長さと向きをもつ矢印に対応する。交流量を時間とともに回る矢印として描くと、角度が位相、長さが振幅だ。

（数学では虚数単位を $i$ と書くが、電気では電流の $i$ と紛れるのを避けて $j$ と書く。本章も $j$ を使う。）

下面这条 3D 螺旋，是随时间旋转的复数箭头画出的轨迹。点实验上部的三个视角按钮，镜头会转到对应角度，那条线会闪一下：

• 顺时间轴正对看：复平面上的箭头在圆上转（旋转矢量）。
• 从侧面看：实轴随时间的轨迹，也就是测到的电压（初相位 ${\phi }_0=0$ 时是一条余弦）。
• 从顶上看：虚轴随时间的轨迹，和它差 $90^{\circ }$ 的搭档（${\phi }_0=0$ 时是一条正弦）。

三条曲线是同一条螺旋在三个方向的投影。虚轴就是这根螺旋的纵坐标。

实验下半区是阻抗。点「电阻 R / 电感 L / 电容 C」，图里会多出一根绿色的电流箭头 $I$，和蓝色电压箭头 $V$ 保持固定夹角 $\phi$ 一起转：R 同相、L 里电压超前 $90^{\circ }$、C 里电压滞后 $90^{\circ }$——阻抗的相位就画在这两根箭头之间。选 RLC 再拖净电抗滑杆，能看 $\phi$ 在感性和容性之间连续变化。

下の 3D らせんは、時間とともに回る複素数の矢印が描く軌跡だ。実験上部の三つの視点ボタンを押すと、その角度へ回り、対応する線が光る：

• 時間軸に正対して見る：複素平面上の矢印が円を回る（回転ベクトル）。
• 横から見る：実軸の時間変化、すなわち測る電圧（初期位相 ${\phi }_0=0$ なら一本の余弦）。
• 上から見る：虚軸の時間変化、$90^{\circ }$ ずれた相棒（${\phi }_0=0$ なら一本の正弦）。

三本の曲線は同じらせんを三方向に投影したもの。虚軸はこのらせんの縦座標だ。

実験の下半分はインピーダンス。「抵抗 R / コイル L / コンデンサ C」を押すと緑の電流の矢印 $I$ が現れ、青い電圧の矢印 $V$ と一定の角 $\phi$ を保って一緒に回る：R では同相、L では電圧が $90^{\circ }$ 進み、C では $90^{\circ }$ 遅れる——インピーダンスの位相はこの二本の矢の間に描かれている。RLC を選んで正味リアクタンスのスライダーを動かすと、$\phi$ が誘導性と容量性の間を連続に変わるのが見える。

实验里画的是一根随时间转的箭头，比如电压。电流也是这样一根箭头，两根箭头之间的夹角就是电压和电流的相位差。三个元件各自固定了这个夹角，也就固定了电压箭头和电流箭头的复数比，叫阻抗 $Z$：

• 电阻：电压电流同方向，$Z=R$。
• 电感：电压超前电流 $90^{\circ }$，$Z=j\omega L$。
• 电容：电压落后电流 $90^{\circ }$，$Z=\frac{1}{j\omega C}$。

这里用上了前面两点：乘 $j$ 是转 $90^{\circ }$；对正弦求导对应乘 $j\omega$，于是电感 $v=Ldi/dt$、电容 $i=Cdv/dt$ 都变成了代数。

串联起来总阻抗 $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$，电压和电流满足复数版欧姆定律 $\tilde{V}=Z\tilde{I}$。$Z$ 是复数：模 $|Z|$ 是电压电流的幅值比，辐角是相位差。

下面把它落到考纲要用的实数公式：先是交流的基本量，再是阻抗、相位差和功率。

実験で描いたのは時間とともに回る一本の矢印、たとえば電圧だ。電流も同じく一本の矢印で、二本の矢印のなす角が電圧と電流の位相差になる。三つの素子はこの角を、つまり電圧の矢印と電流の矢印の複素比を決める。これがインピーダンス $Z$：

• 抵抗：電圧と電流が同じ向き、$Z=R$。
• インダクタ：電圧が電流より $90^{\circ }$ 進む、$Z=j\omega L$。
• コンデンサー：電圧が電流より $90^{\circ }$ 遅れる、$Z=\frac{1}{j\omega C}$。

ここで前の二点を使う：$j$ を掛けるのは $90^{\circ }$ 回すこと；正弦の微分は $j\omega$ を掛けることに対応し、インダクタ $v=Ldi/dt$、コンデンサー $i=Cdv/dt$ が代数になる。

直列にすると総インピーダンス $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$、電圧と電流は複素版オームの法則 $\tilde{V}=Z\tilde{I}$ を満たす。$Z$ は複素数で、大きさ $|Z|$ が電圧電流の振幅比、偏角が位相差だ。

以下ではこれを試験範囲の実数公式に落とす：まず交流の基本量、次にインピーダンス、位相差、電力。

共振 (resonance)：当 $X_L=X_C$ 时，感抗和容抗互相抵消， 阻抗 $Z$ 降到最小（= $R$），电流达到最大。发生共振的频率：

共振 (resonance)：$X_L=X_C$ のとき、誘導リアクタンスと容量リアクタンスが互いに打ち消し、 インピーダンス $Z$ は最小（= $R$）になり、電流が最大になる。共振が起きる周波数は：

这就是调谐电路的原理 — 收音机能把几十台广播里的一台挑出来，就是因为 线圈和可变电容组合出特定共振频率，只有那个频率的信号能穿过。

交流功率：电阻持续耗电，电感电容轮流吞吐能量。平均消耗只由「同相部分」决定：

これが同調回路の原理 — ラジオが何十局もの放送の中から 1 つを選び出せるのは、 コイルと可変コンデンサーが特定の共振周波数を作り、その周波数の信号だけが通過するからだ。

交流の電力：抵抗は電気を消費し続け、インダクタとコンデンサーは交互にエネルギーを やり取りする。平均消費は「同相成分」だけで決まる：

三相交流 (three-phase AC)：发电站几乎全是三相的。它解决了单相 两个真实问题：

• 输电省一根线。 三路电压相位差 $120^{\circ }$，瞬时和恒为 0，所以 Y 接线里中性线本来就不流电流 — 工业三相输电只用三根火线就够了，省掉「零线」的铜钱。
• 电机自启动。 三个相位差 $120^{\circ }$ 的电流流过空间上 $120^{\circ }$ 错开的三组线圈，合成磁场是 恒定模长的旋转矢量。转子被这个旋转磁场拖着走 — 不需要换向器、不需要电池启动 — 这就是 Tesla 1888 年那项决定性的发明。

下面这个实验切换单相 / 三相，看相量、波形、 和定子（stator）三个视角：单相磁场只是「脉动」、三相磁场整体在旋转。 国家预设给出 $V_{\text{phase}}$ 与 $V_{\text{line}}=\sqrt{3}{V}_{\text{phase}}$ 的实数。

三相交流 (three-phase AC)：発電所はほぼすべて三相だ。単相の二つの実問題を解決する：

• 送電線が 1 本減らせる。 3 路の電圧は位相が $120^{\circ }$ ずつずれており、瞬時値の和は常に 0。だから Y 結線の中性線には電流が流れず、 工業の三相送電は活線 3 本だけで済む — 銅の節約になる。
• モーターの自起動。 位相が $120^{\circ }$ ずつずれた 3 つの電流が、空間的にも $120^{\circ }$ ずつずれた 3 組のコイルを流れると、 合成磁場は大きさ一定で回転するベクトルになる。回転子はこの回転磁場に引かれて回り出す — 整流子も始動電池も不要。これが Tesla 1888 年の決定的な発明だ。

下のデモは単相 / 三相を切替、フェーザ図、波形、ステータ (stator) の 3 視点で見せる：単相磁場は「脈動」するだけ、三相磁場は全体が回転している。 国別プリセットは $V_{\text{phase}}$ と $V_{\text{line}}=\sqrt{3}{V}_{\text{phase}}$ の実数値で出る。