力学 — Mechanics力学 — Mechanics

1609 年，伽利略把一块镜片装进铜管里对准夜空，看到木星旁边有四颗在动的小点 — 卫星。他意识到：*天上的东西和地上的东西遵循同一套规则。*这是现代物理的第一口气。

这一章我们把伽利略那口气吸完。从斜面滚球到卫星轨道 — 公式只是五六条，但每条背后都藏着一次「世界比你以为的更简单」的惊叹。

你将会看到：$F=ma$ 为什么是「力」的定义式；$T=2\pi \sqrt{L/g}$ 里的 $2\pi$ 是从哪里冒出来的；苹果砸到牛顿头上这件事从来没真发生过，但那个果园是真实存在的。

1609 年、ガリレオは銅管に一枚のレンズを差し込み夜空に向けた。木星のそばに、動く四つの光点 — 衛星 — が見えた。彼は悟る：*天上のものも地上のものも、同じルールに従って動く。*これが近代物理学の最初の一息だ。

この章ではそのガリレオの一息を最後まで吸い込む。斜面を転がる球から人工衛星の軌道まで — 公式はせいぜい五、六本。けれど一本ごとに「世界はあなたが思っているよりずっと単純だ」という驚きが隠されている。

これから見ていくのは：なぜ $F=ma$ は「力」の定義式なのか、$T=2\pi \sqrt{L/g}$ の $2\pi$ はどこから飛び出してきたのか、そしてリンゴがニュートンの頭に落ちた話は実は一度も起こっていない（ただし、その果樹園は本当に実在した）— ということ。

在牛顿把「力」量化之前，我们先学会描述一个物体怎么运动。描述工具只需三个：位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$。它们被一条链连起来：

ニュートンが「力」を量化する前に、まず物体がどう動くかを記述する道具を覚える。必要なのはたった三つ — 位置 $x(t)$、速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$。三者は一本の鎖で結ばれている：

$dx/dt$ 念作「位置 $x$ 随时间 $t$ 的变化率」 — 一秒钟里 $x$ 改变多少，就是这一刻的速度。再对 $v$ 做一次同样的运算，就是加速度。速度是位置的导数，加速度是速度的导数，两层链条而已。

牛顿和莱布尼茨就是为了写这条链才发明了微积分 — 物理和数学从来是一起长出来的。

匀加速运动是最简单的特例：$a$ 是常数。把链条反过来走（积分一次得 $v$、再积分一次得 $x$），就能直接推出下面这三条 EJU 必考公式：

*$dx/dt$ は「位置 $x$ の時刻 $t$ に対する変化率」と読む。*1 秒間で $x$ がどれだけ変わるか — それがその瞬間の速度。$v$ にもう一度同じ操作を加えれば加速度になる。速度は位置の導関数、加速度は速度の導関数。鎖はたった二段だ。

ニュートンとライプニッツはこの鎖を書きたいがために微積分を発明した — 物理と数学はいつも双子のように一緒に育ってきた。

等加速度運動は最も単純な特例 — $a$ が一定の場合だ。鎖を逆向きに辿る（一回積分して $v$、もう一回積分して $x$）と、EJU の頻出 3 公式が直接出てくる：

这条式子在定义「力」这个量：让 $1\text{kg}$ 的东西产生 $1{\text{m/s}}^2$ 加速度的那个东西，我们叫它 $1\text{N}$ 的力。

所以 $F=ma$ 永远不会被实验证伪 — 它本身就是「力」的定义。

更物理的形式是右边那个：$F=dp/dt$，力 = 动量变化率。对于质量不变的物体两者等价；但对于接近光速的东西，只有动量形式才正确。

第三定律（反作用）：你对墙施力，墙对你施同样大、方向相反的力。宇宙里从来没有「单向」的力 — 力永远成对出现，两个一起产生，两个一起消失。

この式は*「力」という量そのものを定義している*：$1\text{kg}$ の物体に $1{\text{m/s}}^2$ の加速度を生じさせるもの — それを $1\text{N}$ の力と呼ぶ。

だから $F=ma$ は決して実験で反証されない — それ自体が「力」の定義だからだ。

より物理的な形は右の $F=dp/dt$、力＝運動量の変化率だ。質量が変わらない物体では両者は等価。しかし光速に近い物体では 運動量形式だけが正しい。

第三法則（作用反作用）：あなたが壁を押せば、壁は同じ大きさ・反対向きの力であなたを押し返す。宇宙には「片側だけ」の力など存在しない — 力は常にペアで生まれ、ペアで消える。

消掉 $t$ 你会得到一条抛物线：

$t$ を消去すると 放物線 が現れる：

水平和竖直运动完全独立 — 这是伽利略最震撼的洞见。一颗子弹水平射出，和同一时刻放手让它自由下落的另一颗子弹，会同时落地。

水平方向と鉛直方向の運動は完全に独立だ — これがガリレオの最も鮮烈な洞察だった。水平に撃ち出した弾丸と、同じ瞬間に手を離して自由落下させた別の弾丸は、同時に地面に着く。

把同一个箱子推过房间，和把它原地举高一米 — 两件事「累」的程度不同。物理学家想要一个量来度量这个力到底干了多少事，那个量就叫功 (work)：一个力把物体沿力的方向推了多远。

同じ箱を部屋の端まで押すのと、その場で 1 m 持ち上げるのとでは「疲れ方」が違う。物理学者はその力が結局どれだけの仕事をしたかを測る量が欲しかった — それを仕事 (work) と呼ぶ：力が物体をその力の向きに押した距離だ。

对常力沿直线运动，积分可以直接略过，化简成高中熟悉的那条乘法。功的单位是焦耳 $\text{J}=\text{N}\cdot \text{m}$。

动能定理：把 $F=ma$ 乘上 $dx$ 积分一轮，自然会浮出一个量 $\frac{1}{2}m{v}^2$ — 我们把它命名为动能：

一定力の直線運動なら積分は省ける — 高校で見慣れたあの単純な掛け算に化ける。仕事の単位はジュール $\text{J}=\text{N}\cdot \text{m}$。

仕事とエネルギーの定理：$F=ma$ に $dx$ を掛けて積分すると、自然と $\frac{1}{2}m{v}^2$ という量が現れる — それを運動エネルギーと名付けた：

*合外力做的总功 = 动能改变。*所以 $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ 里的那个 $\frac{1}{2}$ 并不是任意挑的 — 它是 $F\cdot dx$ 积分时自然吐出来的系数。

在只有保守力（重力、弹力、静电力）作用时，能量守恒进一步变成「动能 + 势能 = 常数」。

*合外力がした総仕事 = 運動エネルギーの変化。*だから $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ の $\frac{1}{2}$ は適当に選ばれた数ではない — $F\cdot dx$ を積分するとそのまま吐き出される係数だ。

保存力（重力・弾性力・静電気力）だけが働く場では、エネルギー保存則は「運動エネルギー + 位置エネルギー = 一定」という形に進化する。

两个台球相撞、子弹射进木块、火箭点火 — 这些过程里 $F$、$a$ 在每一瞬间都在变，想用 $F=ma$ 直接算几乎不可能。物理学家给出的解决办法：找一个碰前碰后都不变的量。那个量就是动量 $p=mv$。

从 $F=dp/dt$ 两边对时间积分（把瞬时关系累加成一段时间的总效果）：

玉突きで二つの球がぶつかる、弾丸が木の塊に撃ち込まれる、ロケットが点火する — どの過程でも $F$、$a$ は瞬間ごとに変わり続け、$F=ma$ をそのまま使うのはほぼ不可能だ。そこで物理学者の答えは：衝突の前後で変わらない量を探すこと。それが運動量 $p=mv$ だ。

$F=dp/dt$ の両辺を時間で積分する（瞬間の関係を一定区間にわたる総効果に積み上げる）：

左边叫冲量 (impulse) — 力对时间的累积；右边是动量的改变量。一段时间里「力的总效果」，就等于动量改变了多少。

这解释了为什么汽车要装安全气囊。撞车时动量改变 $\Delta p$ 是固定的（从 60 km/h 变成 0）。想让 $F$ 变小，就只能让 $\Delta t$ 变大 — 气囊就是在多争几十毫秒。

两个物体系统如果不受外力，总动量守恒：

左辺は力積 (impulse) — 力を時間にわたって積み上げたもの。右辺は運動量の変化。一定時間における「力の総効果」は、運動量がどれだけ変わったかに等しい。

これが、車にエアバッグを載せる理由だ。衝突時の運動量変化 $\Delta p$ は決まっている（60 km/h からゼロへ）。$F$ を小さくしたければ $\Delta t$ を伸ばすしかない — エアバッグは数十ミリ秒を稼ぎにいく装置だ。

外力を受けない二体系では、全運動量は保存する：

EJU 里碰撞题的分类是固定的三档：

• 完全弹性碰撞：动量守恒 且 动能守恒。撞球、分子之间的弹性碰撞。
• 非弹性碰撞：动量守恒，动能减少（部分变成热、形变、声音）。大多数现实世界的碰撞。
• 完全非弹性碰撞：动量守恒，碰完粘在一起（$v_1^{\prime }=v_2^{\prime }$）。泥团砸墙、子弹射进木块。

对一维弹性碰撞，把「动量守恒 + 动能守恒」两条同时解出来，能得到两个末速度的闭式解：

EJU の衝突問題はきっちり三段階に分かれている：

• 完全弾性衝突：運動量保存 かつ 運動エネルギー保存。玉突き、分子間の弾性衝突。
• 非弾性衝突：運動量は保存、運動エネルギーは減少（一部が熱・変形・音に化ける）。現実世界の衝突はだいたいこれ。
• 完全非弾性衝突：運動量は保存、衝突後はくっついて同じ速度になる（$v_1^{\prime }=v_2^{\prime }$）。粘土の塊が壁にぶつかる、弾丸が木の塊に食い込む、など。

1 次元の弾性衝突では、「運動量保存 + 運動エネルギー保存」の二式を連立すると、二つの終速度が閉じた形で求まる：

三种极限情况值得记住 — 它们把公式变成直觉：

• 等质量（$m_1=m_2$）：两球完全交换速度。台球里母球正撞静止目标球 — 母球停、目标球带走全部速度。
• 重撞轻（$m_1\gg m_2$，$v_2=0$）：$v_1^{\prime }\approx v_1$、$v_2^{\prime }\approx 2v_1$。大球几乎不变，小球被弹出两倍入射速度。
• 轻撞重（$m_1\ll m_2$，$v_2=0$）：$v_1^{\prime }\approx -v_1$、$v_2^{\prime }\approx 0$。小球原速反弹、大球纹丝不动。网球砸墙就是这个。

覚えておく価値のある三つの極限例 — それらは公式を直感に変えてくれる：

• 等質量（$m_1=m_2$）：二つの球は完全に速度を交換する。玉突きで手玉が静止した的玉に正面衝突すると、手玉は止まり、的玉が全速度を持っていく。
• 重い球が軽い球に当たる（$m_1\gg m_2$、$v_2=0$）：$v_1^{\prime }\approx v_1$、$v_2^{\prime }\approx 2v_1$。大きい球はほとんど変わらず、小さい球は入射速度の 2 倍で弾き飛ばされる。
• 軽い球が重い球に当たる（$m_1\ll m_2$、$v_2=0$）：$v_1^{\prime }\approx -v_1$、$v_2^{\prime }\approx 0$。小さい球は元の速さで跳ね返り、大きい球は微動だにしない。テニスボールが壁にぶつかる場面そのものだ。

想象你坐在一辆快速向左转弯的车里。你身子会甩向右边的车门，感觉有一股力把你往外推。

那股「外推力」并不存在。你的身体只是想按第一定律走直线（向前），是车门在把你往左拉、强迫你跟车一起拐。

再想一个经典画面：你拿一根绳拴着石头，在头顶甩成一个圆。绳子全程朝里拉石头。那一刻你松手 — 石头会往哪里飞？

圆周运动的机制就这么简单：物体每时每刻都想沿切线走直线，一个一直朝圆心拉的力把它不停「拐」回来。这个拉回来的力叫向心力，它产生的加速度叫向心加速度：

左へ急カーブする車に乗っているところを想像してほしい。体は右側のドアへ振られていく。外向きに押し出される「力」を感じる。

その「外向きの力」は存在しない。あなたの体は第一法則に従って直線（前方）に進もうとしているだけ。実際には車のドアがあなたを左へ引っぱって、無理やり車と一緒に曲がらせているのだ。

もう一つ古典的な情景：紐に石を結び、頭の上で振り回して円を描かせる。紐は終始内向きに石を引いている。手を離した瞬間、石はどこへ飛んでいく？

円運動の仕組みは実はこれだけ：物体は毎瞬「接線方向に直進したい」と思い、それを常に中心方向へ引っぱる力が「カーブさせ続ける」。この引き戻す力を向心力、それが生む加速度を向心加速度と呼ぶ：

其中 $\omega$ 是角速度（单位 rad/s），线速度 $v=\omega r$。绕一整圈转过 $2\pi$ 弧度 — 这个 $2\pi$ 就是圆周的定义，从此它贴在每一条圆周公式上甩不掉。

ここで $\omega$ は角速度（rad/s）、線速度は $v=\omega r$。円を一周すれば角度は $2\pi$ ラジアン進む — この $2\pi$ こそが円周そのものの定義で、以後あらゆる円運動の式にぴたりと貼り付いて離れない。

SHM 里一切都以角速度 $\omega$ 为核心。位移对时间求一次导就是速度、再求一次导就是加速度 — 两次求导让 $\cos$ 变回 $-\cos$，前面多出来的系数正是 $\omega$ 的幂次：

単振動ではあらゆる量が角振動数 $\omega$ を中心に回る。変位を時間で一度微分すれば速度、もう一度微分すれば加速度 — 二度の微分で $\cos$ は $-\cos$ に戻り、前に現れる係数はちょうど $\omega$ のべきになる：

最后那条 $a=-{\omega }^{2}x$ 就是简谐振动的定义：加速度和位移永远反向、大小成正比，比例系数恰好是 ${\omega }^2$。任何满足这条方程的系统都必然做 SHM — 弹簧、单摆、LC 电路、分子振动 …… 都是它的例子。

最大速度和最大加速度从上面两条直接读出：

最後の $a=-{\omega }^{2}x$ こそが単振動の定義式：加速度は変位と常に逆向きで、大きさは比例 — その比例係数がちょうど ${\omega }^2$。この方程式を満たす系は必ず単振動になる — ばね・振り子・LC 回路・分子振動…… すべて同じ家族だ。

最大速度と最大加速度は上の二式から直接読み取れる：

对于弹簧，胡克定律 $F=-kx$（伸多少就反拉多少）加上牛顿第二定律给出 $m\ddot{x}=-kx$，对照 $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ 立刻得到 $\omega =\sqrt{k/m}$。其中 $k$ 叫弹性系数（$\text{N/m}$），描述「这根弹簧有多硬」。

对于小角度单摆，把恢复力 $F=-mg\sin \theta \approx -mg\theta$ 代入，同样对照得出 $\omega =\sqrt{g/L}$。摆锤质量被消掉，这就是伽利略看吊灯发现的等时性。

ばねについては、フックの法則 $F=-kx$（伸びた分だけ逆向きに引き戻す）とニュートン第二法則を組むと $m\ddot{x}=-kx$。これを $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ と照らし合わせれば直ちに $\omega =\sqrt{k/m}$ が出る。$k$ はばね定数（$\text{N/m}$）、ばねの「硬さ」を表す。

微小角の単振り子では、復元力 $F=-mg\sin \theta \approx -mg\theta$ を同様に代入すると $\omega =\sqrt{g/L}$ が得られる。振り子の質量はすっかり消える — これがガリレオが教会のシャンデリアを眺めて発見した等時性だ。

拖一下下面的滑块 — 你会发现单摆周期只依赖绳长和重力加速度，和摆锤重量、振幅都没关系（只要角度不太大）。这就是伽利略在比萨大教堂看吊灯时的那个发现 — 1581 年他 17 岁。

下のスライダを動かしてみよう — 振り子の周期は糸の長さと重力加速度だけで決まり、振り子の重さや振幅とは（振れが大きすぎなければ）関係がないとわかる。これがピサ大聖堂でガリレオがシャンデリアを眺めて気づいたこと — 1581 年、彼は 17 歳だった。

其中 $G\approx 6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ 是万有引力常数，小得离谱。这就是为什么你感觉不到自己身边一个人在吸引你 — 你俩之间的 $F$ 大约是 $10^{-7}\text{N}$ 量级，约等于一粒盐的重量。但把其中一个换成地球 $(6\times 10^{24}\text{kg})$，一切就都不一样了。

把 $F=GMm/r^2$ 套进圆周运动的 $F=m{v}^2/r$，让引力充当向心力：

ここで $G\approx 6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ は万有引力定数 — 異常なほど小さい。だからあなたは隣にいる人があなたを引いているのを感じない — 二人のあいだの $F$ は $10^{-7}\text{N}$ のオーダー、ちょうど塩一粒の重さくらいだ。だが片方を地球 $(6\times 10^{24}\text{kg})$ に取り換えると、世界は一変する。

$F=GMm/r^2$ を円運動の $F=m{v}^2/r$ に当てはめ、重力を向心力として働かせる：

代入 $v=2\pi r/T$，平方移项：

$v=2\pi r/T$ を代入して両辺を 2 乗・整理：

*这就是开普勒第三定律。*牛顿 1666 年推出这条公式时才 23 岁。

三条看似神秘的「行星规律」，从那一刻起变成一条重力公式的必然推论。从此物理可以从一条方程预言天体的运动。

*これがケプラーの第三法則だ。*1666 年、ニュートンがこの式を導いたとき、彼はわずか 23 歳だった。

三本の不思議に見えた「惑星の法則」が、その瞬間、たった一本の重力の式の必然の帰結に化けた。以後、物理学は一つの方程式から天体の動きを予言できるようになった。

但牛顿本人诚实地说：*「我并不知道引力究竟是什么。它怎么能隔着真空瞬间拉住月亮？」*这个问题要等整整 229 年，到 1915 年由一个在瑞士专利局工作的年轻人给出回答。

だがニュートン自身はこう正直に告白した：*「私には重力の正体が分からない。なぜそれは真空をへだてた月を一瞬で引き寄せられるのか。」*この問いの答えは、229 年待たねばならなかった — 1915 年、スイスの特許局で働いていた一人の若者が答えを与える。